Una de las joyas mínimas de la aleatoriedad: extraer justicia perfecta de una fuente sesgada sin conocer el sesgo.
La moneda justa
Enunciado
Tienes una moneda sesgada, pero no sabes cuánto.
Puede salir cara más veces que cruz, o al revés; lo único que sabes es que su sesgo es fijo.
Puedes lanzarla tantas veces como quieras, pero no puedes usar ninguna otra moneda ni ningún otro mecanismo aleatorio.
Debes producir al final un resultado perfectamente justo: cara o cruz, cada uno con probabilidad exacta de 1/2.
¿Cómo lo harías?
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Solución
Supongamos que la probabilidad de cara es \(p\) y la de cruz es \(1-p\).
Observamos que:
la probabilidad de cara-cruz es \(p(1-p)\)
la probabilidad de cruz-cara es \((1-p)p\)
Son exactamente iguales, cualquiera que sea \(p\).
Si nos limitamos a esos dos casos y descartamos los demás, obtenemos dos resultados perfectamente equilibrados.
El procedimiento es:
lanzar la moneda dos veces;
si sale cara-cruz, declarar cara;
si sale cruz-cara, declarar cruz;
si sale cara-cara o cruz-cruz, descartar el intento y repetir.
El resultado final es exactamente justo, independientemente del sesgo de la moneda.