Tres cordones se atan dentro de una bolsa sin poder verlos. El resultado parece imprevisible, pero solo existen quince emparejamientos finales y pueden contarse uno por uno.
Seis extremos a ciegas
Enunciado
Dentro de una bolsa opaca hay tres cordones separados. De cada cordón sobresalen sus dos extremos: seis extremos en total.
Sin mirar dentro, eliges dos extremos sueltos al azar y los atas. Repites el proceso hasta que no queda ningún extremo suelto.
Está permitido atar entre sí los dos extremos de un mismo cordón. Suponemos que todos los emparejamientos finales de los seis extremos son igualmente probables.
Al sacar los cordones puedes encontrar:
- tres aros separados;
- un aro formado por un cordón y otro formado por los dos cordones restantes;
- un único collar cerrado formado por los tres cordones.
¿Cuál es la probabilidad de obtener un solo collar?
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Solución
Los seis extremos pueden emparejarse de dos en dos de:
5 × 3 × 1 = 15 formas.
Todos estos emparejamientos son igualmente probables.
1. Tres aros separados
Cada cordón debe quedar atado consigo mismo. Solo existe 1 emparejamiento de este tipo.
2. Un aro pequeño y otro formado por dos cordones
Primero elegimos cuál de los tres cordones se cierra sobre sí mismo: hay 3 posibilidades.
Los cuatro extremos de los otros dos cordones deben unirse de manera cruzada. Hay 2 emparejamientos distintos que los convierten en un único aro, aunque ambos tengan la misma forma visual.
Por tanto, este segundo resultado aparece en:
3 × 2 = 6 emparejamientos.
Los resultados que no forman un collar triple son así:
1 + 6 = 7.
Quedan:
15 − 7 = 8
emparejamientos que unen los tres cordones en un solo collar. La probabilidad buscada es:
8/15 ≈ 53,3 %.
Las probabilidades de los tres resultados estructurales son, respectivamente, 1/15, 6/15 y 8/15.