Dos llegadas al azar, una hora de margen y solo quince minutos de espera. La respuesta se esconde en un cuadrado.
La cita de los quince minutos
Enunciado
Dos amigos acuerdan encontrarse entre las 6:00 y las 7:00. Cada uno llega, independientemente del otro, en un instante elegido al azar dentro de esa hora.
Quien llegue primero esperará 15 minutos. Si el otro no aparece durante ese tiempo, se marchará.
¿Qué es más probable: que se encuentren o que no lleguen a verse? ¿Cuál es la probabilidad exacta del encuentro?
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Solución
Respuesta: es más probable que no se vean. La probabilidad de que se encuentren es
Llamemos \(x\) e \(y\) a sus horas de llegada, medidas en minutos desde las 6:00.
Como ambas se eligen de forma independiente y uniforme entre 0 y 60, cada pareja \((x,y)\) es un punto igualmente probable de un cuadrado de lado 60.
Los amigos se encuentran si y solo si la diferencia entre sus horas de llegada no supera los 15 minutos:
Dentro del cuadrado, esta condición forma una banda alrededor de la diagonal.
Es más sencillo calcular la región complementaria. Los casos en que no se encuentran forman dos triángulos rectángulos, cada uno con catetos de longitud
La proporción del cuadrado ocupada por esos dos triángulos es
Por tanto, la probabilidad de que sí se encuentren es
Así, solo se encuentran en el 43,75 % de los casos: es más probable que no lleguen a verse.