Dos agujas miden lo mismo. Una es recta; la otra puede doblarse a voluntad. ¿Puede una forma ingeniosa vencer al azar?
La aguja doblada
Enunciado
Un suelo está marcado por líneas paralelas separadas 10 centímetros.
Tienes dos agujas, cada una de 10 centímetros de longitud:
- la primera permanece recta;
- la segunda puede doblarse en tantos puntos como quieras, de modo que quede formada por varios tramos rectos. Una vez elegida la forma, permanece rígida.
Cada aguja se deja caer al azar sobre el suelo, sin favorecer ninguna orientación ni ninguna posición respecto de las líneas.
Contamos una intersección cada vez que un tramo de la aguja atraviesa una línea del suelo. Si varios tramos atraviesan la misma línea, contamos cada intersección por separado.
¿Puedes doblar la segunda aguja para que produzca, por término medio, menos intersecciones que la recta?
Reto adicional: calcula el número medio de intersecciones por lanzamiento.
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Solución
Respuesta: no. Ninguna forma de doblar la aguja produce menos intersecciones por término medio que la aguja recta.
Consideremos uno de sus tramos, de longitud \(\ell\). Si forma un ángulo \(\theta\) con las líneas, su extensión en la dirección perpendicular a ellas es
Como las líneas están separadas 10 centímetros, la cantidad esperada de intersecciones de ese tramo, para esa orientación, es
Al promediar sobre todas las orientaciones, la aportación del tramo sigue siendo proporcional a su longitud. Es decir, existe una misma constante \(C\) tal que un tramo de longitud \(\ell\) aporta
La aguja recta tiene longitud 10, por lo que su esperanza es \(10C\).
Si la aguja doblada está formada por tramos de longitudes
sus esperanzas se suman. Como
su esperanza total es
Por tanto, ambas agujas tienen exactamente el mismo promedio. Doblarla no ofrece ninguna ventaja.
Para resolver el reto adicional, calculamos la constante:
Como la longitud de cada aguja coincide con la separación entre las líneas, el número medio de intersecciones por lanzamiento es
Idea esencial: cada tramo aporta una esperanza proporcional a su longitud; al sumar los tramos, solo importa la longitud total.