acertijo del día

Hay problemas de probabilidad geométrica donde la respuesta exacta surge de un argumento sorprendentemente directo. Este es uno de ellos.

Tres chinchetas en un plato

Estratega
El factor azar

Enunciado

Tres chinchetas quedan colocadas al azar sobre el borde de un plato circular.

¿Cuál es la probabilidad de que exista algún semicírculo que contenga a las tres?

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Solución

Toma una de las tres chinchetas y considera el semicírculo que arranca justo en ella en sentido horario.

Para que ese semicírculo contenga a las tres, las otras dos chinchetas deben caer en esa mitad del borde. Cada una lo hace con probabilidad 1/2, y ambas condiciones son independientes, así que la probabilidad es 1/4.

Ahora bien, si existe algún semicírculo válido, siempre es posible rotarlo hasta que su extremo coincida con una de las tres chinchetas. Por tanto, el evento buscado es exactamente la unión de los tres casos anteriores.

Estos tres casos son disjuntos salvo en configuraciones de probabilidad nula, de modo que la probabilidad total es:

$3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$