Puedes mirar cómo avanza la baraja y elegir cuándo apostar. Antes de decidir tu estrategia, conviene entender qué te permite ganar.
La carta que todavía no has visto
Enunciado
Se mezcla al azar una baraja de 52 cartas: 26 rojas y 26 negras. Todas las ordenaciones son igualmente probables.
Puedes decir «alto» antes de levantar cualquier carta, incluso antes de la primera. Si no lo dices, se descubre la siguiente carta, la ves y se retira. Cuando dices «alto», se descubre la carta siguiente: ganas si es roja y pierdes si es negra. Debes decidir antes de ver esa carta. Si solo queda una, estás obligado a escogerla.
Puedes basarte en todas las cartas ya vistas. ¿Qué estrategia maximiza tu probabilidad de ganar y cuál es esa probabilidad?
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Solución
Todas las estrategias permitidas ganan con probabilidad 1/2. Demostraremos algo más fuerte: si quedan r cartas rojas y b negras, cualquier estrategia posterior tiene probabilidad r/(r+b).
Con una sola carta, la afirmación es inmediata. Supongámosla demostrada para barajas menores y escribamos N = r+b. Si paramos ahora, la probabilidad es r/N. Si seguimos, descartamos una roja con probabilidad r/N o una negra con probabilidad b/N. Por la hipótesis inductiva, las decisiones que adoptemos después de conocer esa carta no alteran las probabilidades de éxito de las respectivas ramas. Por tanto, al continuar obtenemos:
[r/N] · [(r−1)/(N−1)] + [b/N] · [r/(N−1)] = r/N.
La fórmula se aplica cuando ambos colores están presentes. Si r=0 o b=0, el resultado es inmediato porque todas las cartas restantes tienen el mismo color. Así queda probada la inducción. También una decisión aleatoria entre parar y continuar conserva el mismo valor, siempre que esa aleatoriedad no dé información sobre las cartas ocultas.
Al comienzo r=b=26, de modo que el valor es 1/2. Parar inmediatamente ya es óptimo, pero no es la única estrategia óptima: lo son todas.
Después de observar muchas negras, sí puede aumentar tu probabilidad condicional. Lo que no puedes hacer es garantizar que alcanzarás esa situación favorable. Antes de empezar, la ventaja de unas historias queda compensada por la desventaja de otras.