Ganar una elección no significa haber ido ganando durante todo el recuento. Este acertijo pregunta por algo más fino: no solo quién gana al final, sino cuántas veces estuvo a punto de perder el control.
El escrutinio que nunca se tuerce
Enunciado
En una elección hay dos candidatos, A y B.
A recibe 7 votos.
B recibe 5 votos.
Los 12 votos se cuentan en un orden aleatorio.
¿Cuál es la probabilidad de que A vaya siempre por delante de B durante todo el recuento?
Es decir: después del primer voto, después del segundo, después del tercero… A siempre tiene más votos acumulados que B. B nunca empata ni supera a A.
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Solución
La probabilidad es $1/6$.
Todos los órdenes de los 7 votos de A y los 5 de B son equiprobables. Hay:
órdenes posibles.
El teorema de la votación de Bertrand establece que, si A obtiene $a$ votos y B obtiene $b$, con $a>b$, la fracción de recuentos en los que A permanece siempre estrictamente por delante es:
La fórmula se obtiene emparejando, mediante un reflejo en el primer empate, los recuentos que pierden la ventaja con caminos que terminan en el lado contrario. Solo quedan sin emparejar los caminos que nunca tocan el empate.
Aquí $a=7$ y $b=5$:
Equivale a 132 órdenes favorables de los 792 posibles.
Respuesta: la probabilidad es $1/6$.