acertijo del día

Dos dados pueden llevar números distintos y, sin embargo, dejar exactamente la misma huella al sumar sus resultados.

La firma de los dados

Maestro
El factor azar

Enunciado

Al lanzar dos dados normales, las sumas de 2 a 12 aparecen, entre los 36 resultados posibles, con estas frecuencias:

1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1.

Puedes fabricar otros dos dados equilibrados de seis caras. En cada cara debes escribir un número entero positivo, y puedes repetir números.

¿Existe una pareja distinta de los dados normales que produzca exactamente la misma distribución de sumas? Si existe, encuéntrala y decide si hay alguna otra.

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Solución

Respuesta: sí. Salvo intercambiar los dados, la única pareja no estándar es

$ 1,2,2,3,3,4 \qquad\text{y}\qquad 1,3,4,5,6,8. $

Son los llamados dados de Sicherman.

Codificar las sumas. A un dado cuyas caras son \(a_1,\ldots,a_6\) le asociamos

$ P(x)=x^{a_1}+\cdots+x^{a_6}. $

Si los dos dados corresponden a \(P(x)\) y \(Q(x)\), el coeficiente de \(x^s\) en \(P(x)Q(x)\) cuenta exactamente cuántos de los 36 resultados producen la suma \(s\).

Para un dado normal,

$ D(x)=x+x^2+\cdots+x^6 =x(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1). $

Por tanto, buscamos dos polinomios \(A(x)\) y \(B(x)\) tales que

$ A(x)B(x)=D(x)^2. $

Construir la pareja. Repartimos los factores así:

$ A(x)=x(x+1)(x^2+x+1) =x+2x^2+2x^3+x^4, $
$ B(x)=x(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)^2 =x+x^3+x^4+x^5+x^6+x^8. $

Los coeficientes indican cuántas caras llevan cada número. De ahí obtenemos los dados

$ 1,2,2,3,3,4 \qquad\text{y}\qquad 1,3,4,5,6,8. $

Como \(A(x)B(x)=D(x)^2\), producen exactamente las mismas frecuencias de suma que dos dados normales.

Por qué no hay otros. La suma mínima es 2 y aparece una sola vez. Por ello, cada dado debe tener exactamente una cara con el número 1, de modo que

$ A(x)=xP(x), \qquad B(x)=xQ(x). $

Los tres factores

$ x+1,\qquad x^2+x+1,\qquad x^2-x+1 $

son irreducibles en \(\mathbb Z[x]\). Como la factorización es única, \(P\) y \(Q\) deben formarse repartiendo entre ambos las dos copias de cada factor que aparecen en \(D(x)^2\).

Además, cada dado tiene seis caras, así que

$ P(1)=Q(1)=6. $

Los tres factores valen respectivamente \(2\), \(3\) y \(1\) en \(x=1\). Por tanto, cada polinomio debe recibir una copia de \(x+1\) y otra de \(x^2+x+1\).

Solo queda repartir las dos copias de \(x^2-x+1\):

  • una para cada dado produce los dos dados normales;
  • las dos para el mismo dado producen la pareja de Sicherman;
  • intercambiar el dado que recibe ambas copias no crea una pareja nueva.

No existe ninguna otra posibilidad.

La idea esencial es sustituir la búsqueda de etiquetas por la factorización de la distribución completa de las sumas.