A veces parece imposible mejorar una elección al azar. Si no sabes nada sobre dos números, elegir uno de los dos debería darte exactamente un 50% de posibilidades. Este acertijo muestra una grieta muy fina en esa intuición.
El mayor de dos sobres
Enunciado
Alguien escribe dos números distintos en dos sobres.
Pueden ser números pequeños, enormes, positivos, negativos, cercanos o muy alejados. No sabes nada sobre ellos.
Eliges un sobre al azar y miras el número que contiene.
Después puedes quedarte con ese número o cambiar al otro sobre.
¿Existe una estrategia que te dé una probabilidad estrictamente mayor que el 50% de quedarte con el número mayor, sin importar qué dos números hayan escrito?
Ver solución
Solución
Sí.
Antes de abrir un sobre, genera al azar un número de referencia $R$ usando una distribución con soporte en toda la recta real, por ejemplo una distribución normal. Eso garantiza que cualquier intervalo real tenga probabilidad positiva de contener a $R$.
Abre un sobre y observa el número $x$:
- si $x>R$, conserva el sobre;
- si $x<R$, cambia al otro.
Sean $a<b$ los dos números escritos.
- Si $R<a$, la estrategia equivale a conservar el primer sobre y acierta con probabilidad $1/2$.
- Si $R>b$, equivale a cambiar siempre y también acierta con probabilidad $1/2$.
- Si $a<R<b$, acierta con certeza: cambia al ver $a$ y conserva al ver $b$.
Como el intervalo $(a,b)$ no está vacío y la distribución elegida le asigna probabilidad positiva, existe una probabilidad positiva de entrar en el caso de acierto seguro. En los demás casos se mantiene el $1/2$.
Respuesta: sí. Una referencia aleatoria independiente con soporte en toda la recta permite superar estrictamente el 50% para cualquier par de números distintos.