acertijo del día

Dos sobres esconden cantidades distintas. Abrir uno parece dejarte exactamente a merced del azar, pero esa información parcial puede aprovecharse de una manera inesperada.

Después de abrir el sobre

Maestro
El factor azar

Enunciado

Dos sobres cerrados contienen cantidades distintas y positivas de dinero.

No sabes cuáles son esas cantidades, cómo fueron elegidas ni dentro de qué intervalo se encuentran.

Eliges uno de los sobres al azar y lo abres. Después de ver su contenido, debes decidir entre:

  • conservar el sobre abierto;
  • cambiarlo por el otro, que permanece cerrado.

Puedes preparar de antemano una estrategia aleatoria, pero no obtener ninguna información adicional sobre las cantidades.

¿Existe una estrategia que, para cualquier pareja posible de cantidades distintas, te permita terminar con la cantidad mayor con una probabilidad estrictamente superior a \(1/2\)?

Ver solución

Solución

Respuesta: sí.

Antes de elegir el sobre, genera un umbral aleatorio positivo \(R\) cuya distribución asigne probabilidad positiva a cualquier intervalo abierto de números positivos. Por ejemplo, puedes tomar \(U\) uniforme en \((0,1)\) y definir

\[ R=\frac{U}{1-U}. \]

Después elige un sobre al azar y ábrelo. Si observas una cantidad \(x>R\), consérvalo; si \(x<R\), cambia al otro.

Fijemos ahora dos cantidades cualesquiera \(a<b\).

  • Si \(a<R<b\), la estrategia acierta siempre: al abrir \(a\), cambias; al abrir \(b\), lo conservas.
  • Si \(R<a<b\), ambas cantidades superan el umbral y siempre conservas el sobre inicial.
  • Si \(a<b<R\), ambas quedan por debajo y siempre cambias.

En los dos últimos casos aciertas con probabilidad \(1/2\), porque el sobre inicial se eligió al azar. En el primero aciertas con probabilidad \(1\). Por tanto,

\[ P(\text{acierto}) = \frac12+\frac12P(a<R<b). \]

Como la distribución de \(R\) da probabilidad positiva al intervalo \((a,b)\), esta cantidad es estrictamente mayor que \(1/2\) para toda pareja distinta \(a<b\).

Un umbral fijo no serviría: ambas cantidades podrían quedar al mismo lado. La ventaja tampoco tiene por qué estar separada uniformemente de \(1/2\); puede ser muy pequeña, pero siempre es positiva.