La intuición invita a repartirlo todo por igual. Aquí, sin embargo, la mejor estrategia consiste en crear una oportunidad perfecta y concentrar el riesgo en la otra urna.
El preso y las dos urnas
Enunciado
Un preso recibe 50 bolas blancas y 50 bolas negras.
Debe repartir las 100 bolas entre dos urnas como quiera, con la única condición de que ninguna quede vacía.
Después, el carcelero:
- elige una de las dos urnas al azar, con probabilidad \(1/2\) para cada una;
- extrae al azar una bola de la urna elegida.
Si la bola es blanca, el preso queda libre. Si es negra, muere.
¿Cómo debe repartir las bolas para maximizar su probabilidad de salvarse? ¿Cuál es esa probabilidad máxima?
Ver solución
Solución
Respuesta:
- primera urna: 1 bola blanca;
- segunda urna: 49 bolas blancas y 50 negras.
Si el carcelero elige la primera urna, el preso se salva con certeza. Si elige la segunda, la probabilidad de extraer una bola blanca es \(49/99\). Por tanto,
Por qué ninguna distribución puede mejorarla.
Llama primera urna a la que contiene menos bolas. Supón que contiene \(n\) bolas, de las cuales \(w\) son blancas. Entonces \(1\le n\le50\), y la otra urna contiene \(100-n\) bolas, de las cuales \(50-w\) son blancas.
La probabilidad de salvarse es
Para un tamaño fijo \(n<50\), esta probabilidad aumenta cada vez que sustituimos en la urna pequeña una bola negra por una blanca, porque el coeficiente de \(w\) es
Así que, para cada \(n\), lo mejor es que las \(n\) bolas de la urna pequeña sean blancas. En ese caso,
Además,
de modo que la probabilidad disminuye cuando aumenta \(n\). El máximo se alcanza, por tanto, en \(n=1\): una única bola blanca aislada.
La idea feliz es romper por completo la simetría: una urna ofrece una victoria segura y la otra conserva casi la mitad de probabilidades de éxito.